Heute mal Wahrscheinlichkeitsrechnung
Das Ziegenproblem erhitzt immer wieder die Gemüter, da die Lösung für viele überraschend ist. Sollten sich Rundschau Leserinnen und Leser jemals bei einer Gameshow für einen Autogewinn zwischen drei Türen entscheiden müssen, wird hier verraten wie sich die Gewinnchance verdoppeln lässt.
Als ich gebeten wurde, in dieser Woche die Statistik-Kolumne zu übernehmen, fiel mir eine faszinierende mathematische Fragestellung aus der Stochastik Vorlesung von vor 30 Jahren wieder ein: Das Ziegenproblem! Die Stochastik ist der Sammelbegriff von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Beide Themen sind also durchaus artverwandt, insofern sei mir ein kleiner Exkurs abseits der Statistik hoffentlich erlaubt.
Vielleicht erinnern Sie sich noch an die Anfang der 90er ziemlich populäre TV-Gameshow „Geh aufs Ganze“? Am Ende jeder Sendung hatte ein Kandidat die Möglichkeit ein Auto zu gewinnen und zwar in ähnlicher Form wie es das Ziegenproblem beschreibt: Man nimmt an, Teilnehmer einer Spielshow zu sein und hat die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer Tür ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Man entscheidet sich für eine Tür und der Showmaster, dem bekannt ist hinter welcher Tür das Auto ist, öffnet daraufhin eine andere Tür mit einer meckernden Ziege. Es verbleiben also zwei geschlossene Türen: Hinter einer ist das Auto, hinter der anderen eine weitere Ziege. Die Fragestellung ist nun: Sollte man die Tür wechseln oder bei der ursprünglichen Entscheidung bleiben?
Intuitiv entscheiden sich die meisten dafür, dass dies keinen Unterschied ausmacht. So ist es aber überraschenderweise nicht! Das glauben Sie nicht? Versuchen wir doch das Problem mal zu zerlegen. Nehmen wir an, wir entscheiden uns, wie in der folgenden Grafik dargestellt, für die letzte Tür. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dahinter das Auto verbirgt, 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hinter den anderen beiden Türen befindet, ist 2/3.
Nun öffnet der Moderator die erste Tür, hinter dieser befindet sich eine Ziege. Die Wahrscheinlichkeit für ein Auto ist bei dieser Tür dann logischerweise null. Hinter unserer gewählten letzten Tür verbleibt sie bei 1/3, für die mittlere Tür ist die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn nun aber 2/3. Man hat also eine doppelt so hohe Chance das Auto zu gewinnen, wenn man die Tür wechselt.
Das überzeugt Sie nicht?
In der unteren Tabelle sind alle neun möglichen Fälle angegeben. Dreimal gewinnt man das Auto wenn man nicht wechselt, sechsmal wenn man wechselt. Die Gewinnchance lässt sich durch einen Wechsel also tatsächlich verdoppeln!
In der nächsten Woche lesen Sie dann an dieser Stelle, wie sich die Lottozahlen ganz einfach im Voraus berechnen lassen. Vielleicht geht es aber auch einfach mit Statistik weiter …
